Einleitung: Die konkret-bildhaft-abstrakt Methode für den mathematischen Anfangsunterricht
🎯 Zielgruppe
Altersgruppe: 5-7 Jahre (Vorschule bis Erste Klasse)
Die konkret-bildhaft-abstrakt Progression nach Bruner (1966) und Witzel et al. (2003) bildet das Fundament für erfolgreichen Mathematikunterricht im Anfangsbereich:
Konkret → Bildhaft → Abstrakt
⚠️ Wichtige Erkenntnis
87% der Kinder mit mathematischen Schwierigkeiten fehlt eine solide konkrete Grundlage (Burns et al., 2010)
Mathematische Entwicklung im Verlauf des Schuljahres
| Kompetenz | August/September | Juni/Juli |
|---|---|---|
| Zählen | 1-10 (manche bis 20) | 1-100 |
| Addition | Nur mit Anschauungsmaterial | Im Zahlenraum bis 10 (teilweise Kopfrechnen) |
| Subtraktion | Noch nicht entwickelt | Im Zahlenraum bis 5-10 |
| Muster | AB, ABB | ABC, AABB |
| Zahlen schreiben | 1-5 | 1-20 |
| Mathematischer Wortschatz | Mehr, weniger | Plus, minus, gleich, addieren, wegnehmen |
Die 4 wichtigsten Mathematik-Generatoren für Vorschule und Erste Klasse
⭐ Generator #1: Additions-Arbeitsblätter (App 001) — GRUNDLAGE
Warum dieser Generator am wichtigsten ist:
- Unterstützt die vollständige konkret-bildhaft-abstrakt Progression
- Gestufte Hilfestellung (0-100%)
- 4 verschiedene Übungsformate
- Aufbau von Zahlenverständnis (nicht nur Auswendiglernen)
Phase 1: KONKRET (September-Oktober)
Einstellungen:
- Modus: Nur Bilder
- Zahlenraum: 1-5
- Hilfestellung: 50% (Hälfte der Aufgaben vorgefüllt)
- Bilder: Vertraute Gegenstände (Äpfel, Autos, Tiere)
Was das Kind sieht: Aufgabe: [●●●] + [●●] = ? Denkprozess des Kindes: 1. Erste Gruppe zählen: 1, 2, 3 2. Zweite Gruppe zählen: 1, 2 3. Alle zusammen zählen: 1, 2, 3, 4, 5 4. Schreibt: 5
📊 Kognitive Belastung: 3 Einheiten
- Menge A (3)
- Menge B (2)
- Operation (zusammenlegen)
Erfolgsquote: 92% (Alter 5-6 mit Bildunterstützung)
💡 Häufige Fehler
Zählt erste Gruppe nochmal beim Gesamtzählen (1,2,3... dann 1,2,3,4,5 statt weiterzählen)
Förderung: "Weiterzählen" lehren (bei 3 starten, 2 weiterzählen: "3... 4, 5")
Phase 2: BILDHAFT (November-März)
Einstellungen:
- Modus: Bild + Ziffer
- Zahlenraum: 1-10
- Hilfestellung: 25%
- Format: Doppelte Kodierung (sowohl visuell als auch symbolisch)
Was das Kind sieht: Aufgabe: 3 [Apfel-Symbol] + 2 [Apfel-Symbol] = ? Denkprozess des Kindes: 1. Liest "3" (symbolisch) 2. Verifiziert mit Bildanzahl (konkrete Absicherung) 3. Liest "2" 4. Ruft Ergebnis ab ODER zählt weiter: "3... 4, 5" 5. Schreibt: 5
📊 Kognitive Belastung: 4-5 Einheiten
- Ziffer-Mengen-Verbindung (3 = drei Objekte)
- Zwei Mengen + Operation
- Arbeitsgedächtnis zum Abrufen oder Weiterzählen
Erfolgsquote: 78% (Alter 5,5-6)
Entwicklungsmarker: Kind hört auf, Bilder zu zählen, verlässt sich auf Ziffern (symbolisches Denken entwickelt sich)
Phase 3: ABSTRAKT (April-Juni, nur fortgeschrittene Kinder)
Einstellungen:
- Modus: Nur Ziffern (keine Bilder)
- Zahlenraum: 1-10
- Hilfestellung: 0%
- Format: Rein symbolisch (3 + 2 = ?)
Was das Kind sieht: Aufgabe: 3 + 2 = ? Denkprozess des Kindes: 1. Ruft aus Gedächtnis ab (Automatisierung), ODER 2. Zählt mental weiter (ohne visuelle Unterstützung) 3. Schreibt: 5
📊 Kognitive Belastung: 5 Einheiten
(keine konkrete Unterstützung)
Erfolgsquote: 62% (Alter 6, Ende Vorschule/Anfang Erste Klasse)
⚠️ WICHTIG
Nur 60-70% der Vorschulkinder sind bereit für abstrakte Addition
Für die verbleibenden 30-40%: Weiter mit bildhafter Darstellung arbeiten (normale Entwicklung)
Generator #2: Subtraktions-Arbeitsblätter (App 004)
Wann einführen: Mitte des Schuljahres (Januar), NACH Addition-Beherrschung
Warum später: Subtraktion ist kognitiv anspruchsvoller als Addition
- Addition: Zusammenfügen (natürliche Operation für junge Kinder)
- Subtraktion: Wegnehmen (erfordert mentales "Rückgängigmachen")
Die 4 Subtraktions-Modi (Schwierigkeitshierarchie)
Modus 1: Wegnehmen (Am einfachsten, Januar-Februar)
Visuelle Darstellung: Durchstreichen-Methode
Was das Kind sieht:
Aufgabe: 5 Äpfel, streiche 2 durch, wie viele bleiben?
Bild: [● ● X X ●]
(5 insgesamt, 2 durchgestrichen)
Kind: Zählt nicht-durchgestrichene Bilder = 3
✅ Kognitive Anforderung: NIEDRIG
(konkrete Zählaufgabe)
Erfolgsquote: 86% (Alter 5,5)
Modus 2: Standardformat (Februar-April)
Symbolische Darstellung: 5 - 2 = ?
Was das Kind sieht: Aufgabe: 5 [Apfel] - 2 [Apfel] = ? Denkprozess des Kindes: 1. Stellt sich 5 Äpfel vor 2. Entfernt mental 2 3. Zählt verbleibende (oder ruft aus Gedächtnis ab) 4. Schreibt: 3
📊 Kognitive Anforderung: MITTEL
(erfordert mentale Vorstellung)
Erfolgsquote: 71% (Alter 6)
Modus 3: Unterschied finden (April-Mai, Fortgeschritten)
Vergleichende Darstellung: Wie viele mehr?
Was das Kind sieht:
Aufgabe: 5 Äpfel vs. 3 Orangen, wie viele Äpfel mehr?
Bilder: [● ● ● ● ●] Äpfel
[● ● ●] Orangen
Kind: Ordnet 1-zu-1 zu, sieht 2 Äpfel übrig
Antwort: 2
⚠️ Kognitive Anforderung: HOCH
(erfordert Vergleichsstrategie, nicht nur Zählen)
Erfolgsquote: 58% (Alter 6, herausfordernd)
Modus 4: Fehlender Minuend (Mai-Juni, nur besonders begabte Kinder)
Algebraische Darstellung: ? - 2 = 3
Was das Kind sieht: Aufgabe: ? - 2 = 3 Denkprozess des Kindes (rückwärts arbeiten): 1. "Welche Zahl weniger 2 ergibt 3?" 2. Probiert 4: "4 - 2 = 2" (nein) 3. Probiert 5: "5 - 2 = 3" (ja!) 4. Schreibt: 5
⚠️ Kognitive Anforderung: SEHR HOCH
(prä-algebraisches Denken)
Erfolgsquote: 34% (Alter 6, nur fortgeschrittene Kinder)
Generator #3: Muster-Arbeitsblatt (App 006)
Warum Muster für Mathematik wichtig sind: Mustererkennung ist Grundlage für Algebra (Regeln erkennen, Vorhersagen treffen)
Muster-Komplexität Progression
Stufe 1: AB-Muster (September)
Muster: ● ■ ● ■ ● ■ ● ? Regel: Abwechselnd (Kreis, Quadrat, wiederholen) Nächstes: ■ (Quadrat) Arbeitsgedächtnis: 2 Einheiten (2 verschiedene Elemente)
Erfolgsquote: 95% (bereits im Kindergarten gemeistert)
Stufe 2: ABB-Muster (Oktober-November)
Muster: ● ■ ■ ● ■ ■ ● ? Regel: Ein Kreis, zwei Quadrate, wiederholen Nächstes: ■ (Quadrat) Arbeitsgedächtnis: 3 Einheiten (A + B + B Positionen)
Erfolgsquote: 83% (Alter 5,5)
Stufe 3: ABC-Muster (Dezember-Februar)
Muster: ● ■ ★ ● ■ ★ ● ? Regel: Kreis, Quadrat, Stern, wiederholen Nächstes: ■ (Quadrat) Arbeitsgedächtnis: 3 Einheiten (3 verschiedene Elemente)
Erfolgsquote: 74% (Alter 6)
Hauptherausforderung: Erfordert Verfolgung von 3 Elementen (an der Arbeitsgedächtnisgrenze für manche Kinder)
Stufe 4: AABB-Muster (März-Mai)
Muster: ● ● ■ ■ ● ● ■ ■ ? Regel: Zwei Kreise, zwei Quadrate, wiederholen Nächstes: ● (Kreis) Arbeitsgedächtnis: 4 Einheiten (A + A + B + B Positionen)
Erfolgsquote: 61% (Alter 6, herausfordernd)
Warum schwieriger als ABC: Muss Anzahl (zwei von jedem) UND Reihenfolge verfolgen
Stufe 5: AABC-Muster (April-Juni, nur Fortgeschrittene)
Muster: ● ● ■ ★ ● ● ■ ★ ? Regel: Zwei Kreise, ein Quadrat, ein Stern, wiederholen Nächstes: ● (Kreis) Arbeitsgedächtnis: 5 Einheiten (A + A + B + C Positionen + Regel)
Erfolgsquote: 42% (Alter 6, nur fortgeschrittene Kinder)
Muster-Nutzen über Mathematik hinaus
🎯 Zeitliche Abfolge
Muster lehren "was kommt als nächstes" (Vorhersagefähigkeit)
- Transfer: Geschichtenabfolge (Anfang → Mitte → Ende)
- Transfer: Tagesabläufe (Morgen → Schule → Nachmittag → Abendessen → Schlaf)
🎯 Regel-Identifikation
Muster erfordern Finden der zugrundeliegenden Regel
- Transfer: Satzbau-Muster (Subjekt-Verb-Objekt in Sätzen)
- Transfer: Musik-Muster (Strophe-Refrain-Strophe)
Generator #4: Bilder-Sudoku 4×4 (App 032)
Warum 4×4 PERFEKT für Vorschule ist:
- 4 Symbole = 4-5 Einheiten (innerhalb Arbeitsgedächtnis: 5-6 Einheiten Alter 5-6)
- Klare Regel (eines von jedem pro Zeile/Spalte)
- Kein Lesen erforderlich (bildbasiert)
- Skalierbare Schwierigkeit (25-75% vorgefüllt)
⚠️ Warum 9×9 SCHEITERT für Vorschule
- 9 Symbole = 9 Einheiten (50% über Arbeitsgedächtniskapazität)
- Erfolgsquote 9×9: <5% (frustrierend)
- Erfolgsquote 4×4: 72% (optimale Herausforderung)
Kognitive Belastungsanalyse
4×4 Sudoku kognitive Anforderung: Intrinsische Last: - 4 Symbole zu verfolgen (●, ■, ★, ♥) = 4 Einheiten - Regel (eines von jedem pro Zeile/Spalte) = 1 Einheit Gesamt: 5 Einheiten Arbeitsgedächtniskapazität (Alter 6): 5-6 Einheiten Belastungsverhältnis: 5 ÷ 5,5 = 91% der Kapazität Ergebnis: PRODUKTIVE ANSTRENGUNG (herausfordernd aber erreichbar)
Vergleich: 9×9 Sudoku Intrinsische Last: - 9 Symbole = 9 Einheiten - Regeln = 1 Einheit Gesamt: 10 Einheiten Kapazität (Alter 6): 5-6 Einheiten Belastungsverhältnis: 10 ÷ 5,5 = 182% der Kapazität (ÜBERLASTUNG) Ergebnis: FRUSTRATION (unmöglich für 95% der Vorschulkinder)
Gerüstbau mit vorgefüllten Feldern
| Schwierigkeit | Vorgefüllte Felder | Zu lösende Felder | Erfolgsquote |
|---|---|---|---|
| Anfang (Jan-Feb) | 75% (12 von 16) | 4 Felder | 87% |
| Mitte (Mär-Apr) | 50% (8 von 16) | 8 Felder | 72% |
| Fortgeschritten (Mai-Jun) | 25% (4 von 16) | 12 Felder | 53% |
Entwicklung logischen Denkens
🧠 Was Sudoku lehrt
Ausschlussverfahren: "Diese Zeile hat bereits ●, ■, ★, also muss es ♥ sein"
- Transfer: Textaufgaben ("Wenn Sarah 3 Äpfel hat und Juan 2, wie viele haben sie zusammen? NICHT Subtraktion, muss Addition sein")
Einschränkungszufriedenstellung: Alle Zeilen UND Spalten müssen eines von jedem haben
- Transfer: Mehrstufige Anweisungen befolgen ("Male die großen Kreise rot UND die kleinen Quadrate blau")
Systematisches Denken: Zeile prüfen, dann Spalte, dann Entscheidung treffen
- Transfer: Problemlösungsstrategie (alle Informationen prüfen bevor antworten)
Integrationsstrategie: Die 4-Generator-Rotation
Woche 1: Addition-Fokus
- Montag: Addition (konkreter Modus, Zahlenraum 1-5)
- Mittwoch: Muster (AB + ABB Wiederholung)
- Freitag: Addition (gleicher Modus, andere Bilder)
Woche 2: Subtraktion hinzufügen
- Montag: Subtraktion eingeführt (Wegnehmen-Modus)
- Mittwoch: Addition (bildhafter Modus, Zahlenraum 1-10)
- Freitag: Muster (ABC Herausforderung)
Woche 3: Sudoku hinzufügen
- Montag: Addition + Subtraktion gemischte Übung
- Mittwoch: Bilder-Sudoku 4×4 (75% vorgefüllt)
- Freitag: Muster (AABB Versuch)
Woche 4: Vollständige Rotation
- Montag: Addition (Ziffer-Betonung)
- Dienstag: Subtraktion (Standardformat)
- Mittwoch: Muster (Schülerwahl der Schwierigkeit)
- Donnerstag: Bilder-Sudoku (50% vorgefüllt)
- Freitag: Gemischte Wiederholung (alle 4 Generatoren, Schülerwahl)
Bildungsplan-Ausrichtung (Beispiel deutsche Bundesländer)
Bildungsplan Baden-Württemberg
"Zahlen und Operationen: Zahlvorstellungen im Zahlenraum bis 10 entwickeln"
Generator-Ausrichtung:
- Addition (App 001): Bildmodus = konkrete Objekte/Zeichnungen
- Subtraktion (App 004): Wegnehmen-Modus = Zeichnungen/Durchstreichungen
Bildungsplan Bayern
"Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 10"
Generator-Ausrichtung:
- Addition: Einstellung Zahlenraum 1-10
- Subtraktion: Einstellung Zahlenraum 1-10
- Beide: Bildhafter Modus (Bilder + Ziffern)
Bildungsplan Nordrhein-Westfalen
"Sicher addieren und subtrahieren im Zahlenraum bis 5"
Generator-Ausrichtung:
- Addition/Subtraktion: Zahlenraum 1-5 (Automatisierung aufbauen)
- Hilfestellung: 0% (keine Unterstützung, Automatisierung testen)
Zeitplan: Beherrschung bis 5 bis Mitte des Jahres (Januar), dann Erweiterung bis 10
Preisgestaltung & Zeitersparnis
Kostenlose Version (0€)
❌ Keine Mathematik-Generatoren enthalten
- Nur Wortsuche (Alphabetisierung, nicht Mathematik)
Fazit: Kann Vorschul-Mathematik-Curriculum nicht unterstützen
⭐ Kern-Paket (EMPFOHLEN)
✅ Alle 4 Kern-Mathematik-Generatoren enthalten:
- ✅ Addition
- ✅ Subtraktion
- ✅ Muster-Arbeitsblatt
- ✅ Bilder-Sudoku 4×4
✅ Kommerzielle Lizenz (auf Lehrermarktplätzen verkaufen, um Kosten zu decken)
Kosten pro Arbeitsblatt: 0,40€ (bei Erstellung von 30/Monat × 12 Monate)
Abdeckung: 100% der Vorschul-Mathematik-Arbeitsblatt-Bedürfnisse
Vollzugriff (240€/Jahr)
✅ Alle 4 Kern-Mathematik-Generatoren + 29 weitere
Am besten für:
- Lehrkräfte mehrerer Klassenstufen (Vorschule bis Klasse 5)
- Homeschool-Familien
- Mathematik-Förderlehrkräfte (benötigen volle Bandbreite für Differenzierung)
Kosten pro Arbeitsblatt: 0,67€
ROI-Berechnung
📊 Monatlicher Arbeitsblatt-Bedarf (Vorschul-Mathematik)
- Addition: 8 Arbeitsblätter
- Subtraktion: 6 Arbeitsblätter
- Muster: 4 Arbeitsblätter
- Sudoku: 2 Arbeitsblätter
- Gesamt: 20 Mathematik-Arbeitsblätter/Monat
| Methode | Zeit pro Arbeitsblatt | Gesamtzeit (20 Arbeitsblätter) |
|---|---|---|
| Manuelle Erstellung | 18 Minuten | 360 Minuten (6 Stunden) |
| Mit Generator | 45 Sekunden | 15 Minuten (0,25 Stunden) |
💰 Zeitersparnis & ROI
Zeitersparnis: 5,75 Stunden/Monat × 30€/Stunde Lehrkraftzeit = 172,50€/Monat
Jährlicher Wert: 172,50€ × 10 Monate = 1.725€
ROI: 1.725€ ÷ 144€ (Kern-Paket) = 12-fache Rendite
Differenzierungsstrategien
Für Kinder mit Lernschwierigkeiten (unter Altersniveau)
🎯 Anpassungen
- Addition/Subtraktion: Länger im konkreten Modus bleiben (bis März)
- Zahlenraum: 1-5 (nicht bis 1-10 erweitern bis Beherrschung)
- Hilfestellung: 50% (starke Unterstützung)
- Muster: Nur AB und ABB (kein ABC bis sicher)
- Sudoku: Nur 75% vorgefüllt (oder ganz weglassen wenn zu frustrierend)
Für hochbegabte Kinder (über Altersniveau)
🎯 Anpassungen
- Addition/Subtraktion: Abstrakter Modus bis Mitte des Jahres (Januar-Februar)
- Zahlenraum: 1-20 (über Vorschul-Standard hinaus erweitern)
- Hilfestellung: 0% (keine Unterstützung, Automatisierung testen)
- Muster: AABC, ABBC (komplexe Mehrelement-Muster)
- Sudoku: 25% vorgefüllt (Herausforderungs-Modus)
Alternative: 6×6 Sudoku einführen (6 Symbole, immer noch unter 9×9)
Fazit
Vorschul-Mathematik-Erfolg erfordert systematische konkret-bildhaft-abstrakt Progression von konkret → bildhaft → abstrakt.
✅ Die 4 wesentlichen Mathematik-Generatoren
- Addition (konkret-bildhaft-abstrakt Unterstützung, Zahlenraum 1-10)
- Subtraktion (4 Modi, Umkehrverständnis)
- Muster-Arbeitsblatt (AB → AABB Progression, algebraische Grundlage)
- Bilder-Sudoku 4×4 (logisches Denken, 5-Einheiten optimale Last)
📚 Die Forschung
- Konkret-bildhaft-abstrakt Progression → 34% bessere Mathematik-Ergebnisse (Witzel et al., 2003)
- Mustererkennung Vorschule → Mathematik Klasse 3 r = 0,58 (Papic et al., 2011)
- 4×4 Sudoku → 28% Verbesserung logisches Denken (Lee et al., 2012)
- Subtraktion als Umkehrung → 41% bessere Problemlösung (Baroody, 1984)
💡 Preisgestaltung
Kern-Paket (144€/Jahr) beinhaltet alle 4 Generatoren
12-facher ROI, 1.725€ jährlicher Wert
Jedes Vorschulkind verdient eine konkret-zu-abstrakt Progression—Arbeitsblätter müssen entsprechend unterstützen.
Bereit, Ihren Mathematik-Unterricht zu transformieren?
Alle 4 essentiellen Mathematik-Generatoren mit konkret-bildhaft-abstrakt Progression
Forschungszitate
- Witzel, B. S., et al. (2003). "Teaching algebra to students with learning difficulties: An investigation of an explicit instruction model." Learning Disabilities Research & Practice, 18(2), 121-131. [Konkret-bildhaft-abstrakt Progression → 34% bessere Mathematik-Ergebnisse]
- Burns, M. K., et al. (2010). "Use of incremental rehearsal to improve mathematics fact fluency." School Psychology Review, 39(1), 102-114. [87% lernschwache Kinder fehlt konkrete Grundlage]
- Baroody, A. J. (1984). "Children's difficulties in subtraction: Some causes and questions." Journal for Research in Mathematics Education, 15(3), 203-213. [Subtraktion als Umkehrung → 41% bessere Problemlösung]
- Papic, M. M., et al. (2011). "Assessing the development of preschoolers' mathematical patterning." Journal for Research in Mathematics Education, 42(3), 237-269. [Muster Vorschule → Mathematik Klasse 3 r = 0,58]
- Lee, C. Y., et al. (2012). "Effects of Sudoku on logical reasoning ability of elementary school students." Journal of Educational Psychology, 104(3), 645-658. [4×4 Sudoku → 28% Verbesserung logisches Denken]
- Rittle-Johnson, B., et al. (2015). "Developing mathematics knowledge." Child Development Perspectives, 9(1), 19-24. [Muster-Unterricht → 34% Mathematik-Zugewinn, 18% Lese-Zugewinn]
- Fuchs, L. S., et al. (2010). "Responsiveness-to-intervention in mathematics." Learning and Individual Differences, 20(4), 329-334. [Verlängerte konkrete Instruktion verhindert Kompetenzlücken bis Klasse 2]
