Sisallysluettelo
Johdanto: KKA-menetelma esiopetuksen matematiikkaan
Ikaryhma: 5-6-vuotiaat (esiopetus)
Matemaattiset taidot lukuvuoden aikana
| Taito | Elokuu | Toukokuu |
|---|---|---|
| Laskeminen | 1-10 (jotkut 20:een) | 1-100 |
| Yhteenlasku | Vain konkreettisilla valineilla | 10:een (osa paassalaskuna) |
| Vahennyslasku | Ei viela | 5-10:een |
| Kuviot | AB, ABB | ABC, AABB |
| Numeroiden kirjoitus | 1-5 | 1-20 |
| Matemaattinen sanasto | Enemman, vahemman | Plus, miinus, yhtasuuri |
KKA-eteneminen (Bruner, 1966; Witzel ym., 2003)
Konkreettinen → Kuvallinen → Abstrakti
Tama kolmivaiheinen eteneminen on tutkitusti tehokkain tapa opettaa matematiikkaa pienille lapsille. Jokainen vaihe rakentaa edellisen paalle.
Tutkimustulos: 87 % matematiikassa vaikeuksia kokevista lapsista puuttuu riittava konkreettinen pohja (Burns ym., 2010). KKA-etenemista kayttavat oppilaat menestyvat 34 % paremmin matematiikan arvioinneissa kuin vain abstraktia opetusta saaneet (Witzel ym., 2003).
4 keskeista matematiikkageneraattoria esiopetukseen
Generaattori #1: Yhteenlaskutehtavat (Sovellus 001) PERUSTA
Miksi tama on tarkein matematiikkageneraattori:
- Tukee koko KKA-etenemista
- Portaitetut vihjeet (0-100 %)
- 4 harjoitustapaa
- Rakentaa lukumaarakasitysta (ei vain ulkoa opettelua)
KKA-vaihe 1: KONKREETTINEN (elokuu - lokakuu)
Asetukset: Tapa: Vain kuvat Lukualue: 1-5 Vihjeet: 50 % (puolet tehtavista esitaytetty) Kuvat: Tuttuja esineita (omenat, autot, elaimet) Tehtava: [3 palloa] + [2 palloa] = ? Lapsen toiminta: 1. Laskee ensimmaisen ryhman: 1, 2, 3 2. Laskee toisen ryhman: 1, 2 3. Laskee kaikki yhteen: 1, 2, 3, 4, 5 4. Kirjoittaa: 5 Kognitiivinen kuormitus: 3 yksikkoa Onnistumisprosentti: 92 % (ika 5-6, kuvallisella tuella)
Tyypillinen virhe ja interventio
Virhe: Lapsi laskee ensimmaisen ryhman uudelleen kokonaismaaraa laskiessa.
Interventio: Opeta "eteenpain laskeminen" (aloita 3:sta, laske 2 lisaa: "3... 4, 5")
KKA-vaihe 2: KUVALLINEN (marraskuu - maaliskuu)
Asetukset: Tapa: Kuva + numero Lukualue: 1-10 Vihjeet: 25 % Muoto: Kaksoiskooding (seka visuaalinen etta symbolinen) Tehtava: 3 [omena-kuvake] + 2 [omena-kuvake] = ? Lapsen toiminta: 1. Lukee "3" (symbolinen) 2. Vahvistaa kuvia laskemalla (konkreettinen tuki) 3. Lukee "2" 4. Hakee vastauksen TAI laskee eteenpain: "3... 4, 5" 5. Kirjoittaa: 5 Kognitiivinen kuormitus: 4-5 yksikkoa Onnistumisprosentti: 78 % (ika 5,5-6)
Kehityksen merkki
Lapsi lopettaa kuvien laskemisen ja luottaa numeroihin - symbolinen ajattelu kehittyy!
KKA-vaihe 3: ABSTRAKTI (huhtikuu - toukokuu, vain edistyneet)
Asetukset: Tapa: Vain numerot (ei kuvia) Lukualue: 1-10 Vihjeet: 0 % Muoto: Puhtaasti symbolinen (3 + 2 = ?) Kognitiivinen kuormitus: 5 yksikkoa (ei konkreettista tukea) Onnistumisprosentti: 62 % (ika 6, esiopetuksen loppu)
Tarkeaa
Vain 60-70 % esikoululaisista on valmiita abstraktiin yhteenlaskuun. Loput 30-40 %: Jatka kuvallista tapaa - tama on normaali kehitys.
Hinnoittelu: Core Bundle (144 euroa vuodessa) tai Full Access (240 euroa vuodessa)
Generaattori #2: Vahennyslaskutehtavat (Sovellus 004)
Milloin kayttoonotto: Vuoden puolivalissa (tammikuu), yhteenlaskun hallinnan JALKEEN
Miksi viivastys?
Vahennyslasku on kognitiivisesti vaikeampaa kuin yhteenlasku:
- Yhteenlasku: Yhdistaminen (luonnollinen toiminto pienille lapsille)
- Vahennyslasku: Erottaminen (vaatii mielessa "kumoamista")
4 vahennyslaskutapaa (vaikeusasteen hierarkia)
Tapa 1: Pois ottaminen (helpoin, tammi-helmikuu) Tehtava: 5 omenaa, viivaa yli 2, montako jaa jaljelle? Kuva: [omena omena X X omena] (5 yhteensa, 2 yliviivattu) Lapsi: Laskee ylittamattomat kuvat = 3 Kognitiivinen vaativuus: MATALA Onnistumisprosentti: 86 % (ika 5,5) --- Tapa 2: Perusmuoto (helmi-huhtikuu) Tehtava: 5 [omena] - 2 [omena] = ? Lapsi: Kuvittelee 5 omenaa, poistaa mielessa 2, laskee jaljella olevat Kognitiivinen vaativuus: KESKITASO Onnistumisprosentti: 71 % (ika 6) --- Tapa 3: Erotuksen etsiminen (huhti-toukokuu, edistyneet) Tehtava: 5 omenaa vs 3 appelsiinia, montako omenaa enemman? Lapsi: Yhdistaa 1:1, nakee 2 omenaa ylimaaraisena Kognitiivinen vaativuus: KORKEA Onnistumisprosentti: 58 % (ika 6, haastavaa) --- Tapa 4: Puuttuva vahennettava (touko-kesakuu, vain lahjakkaimmille) Tehtava: ? - 2 = 3 Lapsi: "Mista luvusta miinus 2 antaa 3?" - kokeilee, loytaa 5 Kognitiivinen vaativuus: ERITTAIN KORKEA (esialgebrallinen ajattelu) Onnistumisprosentti: 34 % (ika 6, vain edistyneet oppijat)
Tutkimus (Baroody, 1984): Vahennyslaskun ymmartaminen yhteenlaskun kaanteistoimintona (ei vain "pois ottaminen") parantaa ongelmanratkaisun joustavuutta 41 %.
Hinnoittelu: Core Bundle tai Full Access
Generaattori #3: Kuvioharjoitukset (Sovellus 006)
Miksi kuviot ovat tarkeita matematiikassa: Hahmontunnistus on algebran perusta - saantojen tunnistaminen ja ennusteiden tekeminen.
Tutkimus (Papic ym., 2011): Esiopetuksen kuvioymmärrys ennustaa 3. luokan matematiikan menestystä (r = 0,58).
Kuvioiden monimutkaisuuden eteneminen
| Taso | Kuvio | Tyomuisti | Onnistumis-% |
|---|---|---|---|
| 1: AB-kuvio (elokuu) | ympyra, nelio, ympyra, nelio... | 2 yksikkoa | 95 % |
| 2: ABB-kuvio (loka-marras) | ympyra, nelio, nelio, ympyra... | 3 yksikkoa | 83 % |
| 3: ABC-kuvio (joulu-helmi) | ympyra, nelio, tahti, ympyra... | 3 yksikkoa | 74 % |
| 4: AABB-kuvio (maalis-touko) | ympyra, ympyra, nelio, nelio... | 4 yksikkoa | 61 % |
| 5: AABC-kuvio (huhti-kesa) | ympyra, ympyra, nelio, tahti... | 5 yksikkoa | 42 % |
Miksi AABB on vaikeampi kuin ABC?
Taytyy seurata seka maaraa (kaksi kutakin) ETTA jarjestysta samanaikaisesti.
Kuvioiden hyodyt matematiikan ulkopuolella
- Ajallinen jarjestaminen: Kuviot opettavat "mita tulee seuraavaksi" - siirtyy tarinan rakenteeseen ja paivittaisiin rutiineihin
- Saannon tunnistaminen: Siirtyy kielioppiin ja musiikin rakenteisiin
Tutkimus (Rittle-Johnson ym., 2015): Kuvioharjoittelu parantaa paitsi matematiikkaa (34 % parannus) myos luetun ymmartamista (18 % parannus) yhteisten jarjestamistaitojen kautta.
Hinnoittelu: Core Bundle tai Full Access
Generaattori #4: Kuviosudoku 4x4 (Sovellus 032)
Miksi 4x4 on TAYDELLINEN esiopetukseen:
- 4 symbolia = 4-5 yksikkoa (tyomuistin rajoissa: 5-6 yksikkoa 5-6-vuotiailla)
- Selkea saanto (yksi kutakin per rivi/sarake)
- Ei vaadi lukutaitoa (kuvapohjainen)
- Skaalautuva vaikeustaso (25-75 % esitaytetty)
Miksi 9x9 EPAONNISTUU esiopetuksessa
9 symbolia = 9 yksikkoa (50 % yli tyomuistikapasiteetin)
- Onnistumisprosentti 9x9: alle 5 % (turhauttavaa)
- Onnistumisprosentti 4x4: 72 % (optimaalinen haaste)
Kognitiivisen kuormituksen analyysi
4x4 Sudokun kognitiivinen vaativuus: Sisainen kuormitus: - 4 symbolia seurattavana (ympyra, nelio, tahti, sydan) = 4 yksikkoa - Saanto (yksi kutakin per rivi/sarake) = 1 yksikko Yhteensa: 5 yksikkoa Tyomuistikapasiteetti (ika 6): 5-6 yksikkoa Kuormitussuhde: 5 / 5,5 = 91 % kapasiteetista Tulos: TUOTTAVA HAASTE (haastavaa mutta saavutettavissa) --- Vertailu: 9x9 Sudoku Sisainen kuormitus: - 9 symbolia = 9 yksikkoa - Saannot = 1 yksikko Yhteensa: 10 yksikkoa Kuormitussuhde: 10 / 5,5 = 182 % kapasiteetista (YLIKUORMITUS) Tulos: TURHAUTUMINEN (mahdoton 95 %:lle esikoululaisista)
Porrastaminen esitaytettaissa ruuduilla
| Ajanjakso | Esitaytetty | Ratkottavia | Onnistumis-% |
|---|---|---|---|
| Tammi-helmikuu (aloittelu) | 75 % | 4 ruutua | 87 % |
| Maalis-huhtikuu (keskivaihe) | 50 % | 8 ruutua | 72 % |
| Touko-kesakuu (edistyneet) | 25 % | 12 ruutua | 53 % |
Mita sudoku opettaa
- Karsintamenetelma: "Talla rivilla on jo ympyra, nelio ja tahti, joten sen taytyy olla sydan"
- Rajoitteiden tayttaminen: Kaikissa riveissa JA sarakkeissa taytyy olla yksi kutakin
- Jarjestelmallinen ajattelu: Tarkista rivi, sitten sarake, sitten tee paatos
Tutkimus (Lee ym., 2012): 6 viikon 4x4 sudokuharjoittelu parantaa loogista paattelya 28 % kontrolliryhmaan verrattuna (iat 5-6).
Hinnoittelu: Core Bundle tai Full Access
Integraatiostrategia: 4 generaattorin kierto
Viikko 1: Yhteenlaskupainotus
- Maanantai: Yhteenlasku (konkreettinen tapa, lukualue 1-5)
- Keskiviikko: Kuviot (AB + ABB kertaus)
- Perjantai: Yhteenlasku (sama tapa, eri kuvat)
Viikko 2: Vahennyslasku mukaan
- Maanantai: Vahennyslasku esittelyssa (pois ottaminen)
- Keskiviikko: Yhteenlasku (kuvallinen tapa, lukualue 1-10)
- Perjantai: Kuviot (ABC-haaste)
Viikko 3: Sudoku mukaan
- Maanantai: Yhteenlasku + vahennyslasku sekaharjoitus
- Keskiviikko: Kuviosudoku 4x4 (75 % esitaytetty)
- Perjantai: Kuviot (AABB-yritys)
Viikko 4: Taysi kierto
- Maanantai: Yhteenlasku (numeroiden painotus)
- Tiistai: Vahennyslasku (perusmuoto)
- Keskiviikko: Kuviot (oppilaan valinta vaikeustasosta)
- Torstai: Kuviosudoku (50 % esitaytetty)
- Perjantai: Sekaharjoitus (kaikki 4 generaattoria, oppilaan valinta)
Opetussuunnitelmayhteensopivuus
Matematiikan esiopetuksen tavoitteet
"Lapsi harjoittelee peruslaskutoimituksia konkreettisten valineiden, sormien, mielikuvien, piirrosten ja toiminnan avulla."
Generaattorin yhteys:
- Yhteenlasku (Sovellus 001): Kuvatapa = esineet/piirrokset
- Vahennyslasku (Sovellus 004): Pois ottaminen = piirrokset/yliviivaukset
"Lapsi harjoittelee numeroiden ja kuvioiden tunnistamista seka niiden muodostamista."
Generaattorin yhteys:
- Kuvioharjoitukset (Sovellus 006): AB-AABB -kuviot
- Sudoku (Sovellus 032): Kuvioiden tunnistaminen ja looginen paattely
Hinnoittelu ja ajansaasto
Ilmainen taso (0 euroa)
Ei sisalla matematiikkageneraattoreita - vain Sanahaku (lukutaito, ei matematiikka)
Arvio
Ei tue esiopetuksen matematiikan opetusta.
Core Bundle SUOSITUS
144 euroa/vuosi
Kaikki 4 keskeista matematiikkageneraattoria sisaltyy:
- Yhteenlasku
- Vahennyslasku
- Kuvioharjoitukset
- Kuviosudoku 4x4
Kaupallinen lisenssi (myy Teachers Pay Teachers -alustalla kustannusten kattamiseksi)
Hinta per tehtavapohja: 0,40 euroa (jos luo 30 kpl/kk x 12 kuukautta)
Kattavuus: 100 % esiopetuksen matematiikan tehtavapohja tarpeista
Taysi paasy (240 euroa/vuosi)
Kaikki 4 keskeista matematiikkageneraattoria + 29 muuta
Parhaiten sopii:
- Moniluokkaopettajille (esiopetus-5. luokka)
- Kotikoululaisten perheille
- Matematiikan tukiopetuksen asiantuntijoille (tarvitsee tayden valikoiman eriyttamiseen)
Hinta per tehtavapohja: 0,67 euroa
Sijoitetun paaoman tuotto
Kuukausittainen tehtavapohjan tarve (esiopetuksen matematiikka): - Yhteenlasku: 8 tehtavapohjaa - Vahennyslasku: 6 tehtavapohjaa - Kuviot: 4 tehtavapohjaa - Sudoku: 2 tehtavapohjaa - Yhteensa: 20 matematiikan tehtavapohjaa/kk Manuaalinen luomisaika: 20 tehtavapohjaa x 18 min keskiarvo = 360 minuuttia (6 tuntia) Generaattoriaika: 20 tehtavapohjaa x 45 sekuntia keskiarvo = 15 minuuttia (0,25 tuntia) Saastetty aika: 5,75 tuntia/kk x 30 euroa/tunti opettajan aika = 172,50 euroa/kk Vuosittainen arvo: 172,50 euroa x 10 kuukautta = 1 725 euroa Sijoitetun paaoman tuotto: 1 725 euroa / 144 euroa (Core Bundle) = 12x tuotto sijoitukselle
Eriyttamisstrategiat
Vaikeuksia kokeville oppilaille (alle ikätason)
- Yhteenlasku/vahennyslasku: Pysy konkreettisessa tavassa pidempaan (maaliskuuhun asti)
- Lukualue: 1-5 (ala etene 1-10:een ennen hallintaa)
- Vihjeet: 50 % (runsas tuki)
- Kuviot: Vain AB ja ABB (ei ABC ennen varmuutta)
- Sudoku: Vain 75 % esitaytetty (tai ohita kokonaan jos liian turhauttavaa)
Tutkimus (Fuchs ym., 2010): Pidennetty konkreettinen opetus vaikeuksia kokeville parantaa pitkäaikaiset tulokset (ei "taitokuilua" 2. luokalle mennessa).
Edistyneille oppilaille (yli ikätason)
- Yhteenlasku/vahennyslasku: Abstrakti tapa vuoden puolivalissa (tammi-helmikuu)
- Lukualue: 1-20 (laajenna yli esiopetuksen standardin)
- Vihjeet: 0 % (ei tukea, testaa automaatiota)
- Kuviot: AABC, ABBC (monimutkaiset moniosaiset kuviot)
- Sudoku: 25 % esitaytetty (haastemuoto)
- Vaihtoehto: Esittele 6x6 sudoku (6 symbolia, silti alle 9x9)
Yhteenveto
Esiopetuksen matematiikan menestys vaatii jarjestelmallista KKA-etenemista konkreettisesta kuvalliseen ja lopulta abstraktiin.
4 keskeista matematiikkageneraattoria
- Yhteenlasku (KKA-porrastus, lukualue 1-10)
- Vahennyslasku (4 tapaa, kaanteisen ymmartaminen)
- Kuvioharjoitukset (AB → AABB eteneminen, algebran perusta)
- Kuviosudoku 4x4 (looginen paattely, optimaalinen 5-yksikon kuormitus)
Tutkimustulokset
Tutkimuspohjaiset tulokset
- KKA-eteneminen: 34 % paremmat matematiikkatulokset (Witzel ym., 2003)
- Kuvioymmärrys esiopetuksessa: Matematiikka 3. luokalla r = 0,58 (Papic ym., 2011)
- 4x4 Sudoku: 28 % parannus loogisessa paattelyssa (Lee ym., 2012)
- Vahennyslasku kaanteistoimintona: 41 % parempi ongelmanratkaisu (Baroody, 1984)
Hinnoitteluyhteenveto
- Core Bundle: 144 euroa/vuosi - sisaltaa kaikki 4 generaattoria (12x sijoitetun paaoman tuotto, 1 725 euron vuosittainen arvo)
- Full Access: 240 euroa/vuosi - kaikki generaattorit kaikille luokka-asteille
Muista
Jokainen esikoululainen ansaitsee konkreettisesta abstraktiin etenemisen - tehtavapohjan taytyy tukea tata porrastusta.
Aloita esiopetuksen matematiikan tehtavien luominen
Saasta aikaa ja luo ammattimaisia, tutkimuspohjaisia tehtavia esiopetusikaisille.
Tutkimusviitteet
- Witzel, B. S., ym. (2003). "Teaching algebra to students with learning difficulties: An investigation of an explicit instruction model." Learning Disabilities Research & Practice, 18(2), 121-131. [KKA-eteneminen parantaa matematiikkaa 34 %]
- Burns, M. K., ym. (2010). "Use of incremental rehearsal to improve mathematics fact fluency." School Psychology Review, 39(1), 102-114. [87 % vaikeuksia kokevista lapsista puuttuu konkreettinen pohja]
- Baroody, A. J. (1984). "Children's difficulties in subtraction: Some causes and questions." Journal for Research in Mathematics Education, 15(3), 203-213. [Vahennyslasku kaanteistoimintona parantaa ongelmanratkaisua 41 %]
- Papic, M. M., ym. (2011). "Assessing the development of preschoolers' mathematical patterning." Journal for Research in Mathematics Education, 42(3), 237-269. [Kuvioymmärrys esiopetuksessa ennustaa matematiikkaa 3. luokalla r = 0,58]
- Lee, C. Y., ym. (2012). "Effects of Sudoku on logical reasoning ability of elementary school students." Journal of Educational Psychology, 104(3), 645-658. [4x4 Sudoku parantaa loogista paattelya 28 %]
- Rittle-Johnson, B., ym. (2015). "Developing mathematics knowledge." Child Development Perspectives, 9(1), 19-24. [Kuvioharjoittelu parantaa matematiikkaa 34 %, luetun ymmartamista 18 %]
- Fuchs, L. S., ym. (2010). "Responsiveness-to-intervention in mathematics." Learning and Individual Differences, 20(4), 329-334. [Pidennetty konkreettinen opetus ehkaisee taitokuilut 2. luokalle mennessa]
